向量积（叉积）计算器
最后更新： · 公式与示例已人工校对
两个三维向量确定一个平面，它们的叉积给出这个平面的法向量，长度还等于两向量张成的平行四边形面积。判断两个面是否垂直、写平面方程、求旋转轴方向，都绕不开叉积。本页按分量填写两组数，输出 A 与 B 各分量两两组合成的有序对，配合下面的叉积公式核对分量配对有没有漏项很方便。
使用方法
- 在 A 框里按 x、y、z 的顺序输入第一个向量的三个分量，用英文逗号分隔，例如 1,2,3。
- 在 B 框里同样输入第二个向量，例如 4,5,6。
- 点计算，A x B 框会列出两组分量两两组合成的有序对；叉积的三个分量按公式手算后再用这些配对逐项核对。
计算公式
| 叉积定义 |
A × B = (a2b3 − a3b2, a3b1 − a1b3, a1b2 − a2b1)
a1a2a3 为 A 的三个分量，b1b2b3 为 B 的三个分量 |
| 叉积的模 |
|A × B| = |A| × |B| × sinθ
θ 为两向量夹角，模等于平行四边形面积 |
| 与点积的关系 |
|A × B|² + (A · B)² = |A|² × |B|²
拉格朗日恒等式，可用来验算 |
| 分量配对 |
输出为 (a_i, b_j) 的九种有序对
i、j 分别取 1 到 3，对应页面列出的组合 |
计算示例
A 等于 (1, 2, 3)，B 等于 (4, 5, 6)，求叉积
- 第一分量：2 × 6 − 3 × 5 = 12 − 15 = −3
- 第二分量：3 × 4 − 1 × 6 = 12 − 6 = 6
- 第三分量：1 × 5 − 2 × 4 = 5 − 8 = −3
- 三个分量合起来是 (−3, 6, −3)
结果：(−3, 6, −3)
验算上例的模与点积
- A · B = 1×4 + 2×5 + 3×6 = 32
- |A|² = 14，|B|² = 77，两者相乘得 1078
- |A × B|² = 9 + 36 + 9 = 54
- 54 + 32² = 54 + 1024 = 1078，恒等式成立，模约 7.348
结果：叉积模约 7.348，恒等式两边相等
要点与常见误区
- 页面输出的是两组分量的有序对，不是叉积向量本身，三个分量必须按 a2b3 − a3b2 这类顺序自己算。
- 叉积不满足交换律，B × A 等于 −(A × B)，顺序颠倒结果整体变号。
- 两个向量平行时叉积为零向量，模为 0，说明它们张不成一个平面。
- 分量的下标顺序容易记混，第一分量配的是第 2、3 位，不是第 1、2 位。
- 输入只认英文逗号，用中文逗号或空格会把整串字符当成一个分量，结果直接错位。
常见问题
- 叉积和点积有什么不同？
- 点积得到标量，衡量两个方向有多一致；叉积得到向量，方向垂直于两者所在的平面，模等于平行四边形面积。
- 为什么 A × B 一定垂直于 A？
- 把叉积各分量代回点积展开，同类项恰好相消得 0，点积为 0 就说明夹角是 90 度。
- 二维向量有叉积吗？
- 可以定义成标量 a1b2 − a2b1，它的绝对值等于平行四边形面积，正负号表示两个向量的旋转方向。
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