受迫振动位移与振幅计算器

机器底座、悬挂系统、建筑楼层在周期性外力作用下都会进入受迫振动，关心的不是瞬态怎么晃，而是稳定后振幅有多大、相位落后多少。这个页面按单自由度受迫振动模型，用无阻尼固有频率、阻尼系数、激振频率和激振力幅值算出稳态位移曲线，并给出不同时间点的波形，用来判断工作频率是否落在共振区附近。

使用方法

1. 「Undamped angular frequency」填无阻尼固有角频率 ω0，单位 rad/s，等于 √(k/m)，注意不是赫兹。
2. 「Resistance coefficient」填阻尼系数 k，单位 1/s，来自 c/m，量的是能量耗散快慢。
3. 「Driving frequency」填激振角频率 ω，单位 rad/s；由转速换算时 ω = 2πn ÷ 60。
4. 「Driving amplitude」填激振力幅值除以质量后的加速度幅值 f，单位 m/s²。
5. 「Repetition frequency」选 50、100 或 200，决定波形采样密度，点绘图后读时间与位移。

计算公式

稳态位移	x(t) = A × cos(ωt − φ) A 为稳态振幅，φ 为位移落后激振力的相位角
振幅	A = f ÷ √((ω0² − ω²)² + (kω)²) f 为单位质量激振力幅值，k 为阻尼系数，ω0 为固有角频率
相位	φ = arctan(k × ω ÷ (ω0² − ω²)) ω 小于 ω0 时 φ 接近 0，ω 大于 ω0 时接近 180 度
共振振幅	A = f ÷ (k × ω0) 当 ω = ω0 时括号内只剩阻尼项，振幅由阻尼单独限制
固有频率换算	f0 = ω0 ÷ (2π) 角频率换成赫兹，方便与设备转速对照

计算示例

要点与常见误区

• ω0 和 ω 都是角频率，单位 rad/s；设备铭牌给的是转速 rpm，要先乘 2π 再除 60，直接拿 rpm 当 rad/s 会差 9.5 倍。
• 这里的阻尼系数 k 是 c/m 的量纲（1/s），不是弹簧刚度，也不是阻尼比。阻尼比 ζ = k ÷ (2ω0)，无量纲。
• 共振时振幅不是无穷大，被阻尼项 kω 限住；阻尼比越小峰越尖，实际工程希望 ζ 在 0.05 到 0.2 之间。
• 页面画的是稳态解，启动瞬间的瞬态分量会叠加在上面，一般几个周期后衰减掉，读数取后半段波形。
• 激振频率低于固有频率时位移与力同相，高于固有频率时反相 180 度，隔振设计正是利用这个反相区。

常见问题

受迫振动和自由振动有什么区别？

自由振动是撤掉外力后系统按自身固有频率衰减振动；受迫振动是外力持续作用，稳定后按外力频率振动，振幅由频率比和阻尼决定，与初始条件无关。

共振时振幅为什么会很大？

当激振频率接近固有频率，分母里的 (ω0² − ω²) 趋于零，只剩阻尼项 kω，振幅被放大到 f/(kω0)。阻尼越小这个值越大，理论上无阻尼时趋于无穷。

怎么判断设备是否在共振区？

算频率比 ω/ω0，落在 0.8 到 1.2 之间就要警惕；工程上要么把工作转速调开这个区间，要么增加阻尼把峰值压下去。

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