贝塔函数 B(x,y) 计算器
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贝塔函数 B(x,y) 计算器
最后更新： · 公式与示例已人工校对
贝塔函数常藏在贝塔分布的归一化常数里，写成积分是 t^(x−1) 乘 (1−t)^(y−1) 在 0 到 1 上的定积分，看着难算，实际只需要三个伽玛函数相除。这个页面输入 x、y 两个正数就直接给出 B(x,y)，省去查表和连乘。
使用方法
- 在「X」填第一个参数 x，必须大于 0。
- 在「Y」填第二个参数 y，同样必须大于 0。
- 点计算，读「贝塔函数 B(X,Y)=」的数值，保留四位小数。
- 若要算不完全贝塔积分（积分上限小于 1），本页不支持，需另做数值积分。
计算公式
| 伽玛表示 |
B(x,y) = Γ(x) · Γ(y) ÷ Γ(x + y)
最常用的算法，把积分换成三个函数值 |
| 积分定义 |
B(x,y) = ∫ 从 0 到 1 t^(x−1) · (1−t)^(y−1) dt
x、y 均为正数时积分收敛 |
| 对称性 |
B(x,y) = B(y,x)
交换两个参数结果不变 |
| 整数情形 |
B(m,n) = (m−1)! · (n−1)! ÷ (m+n−1)!
m、n 为正整数时可直接用阶乘 |
计算示例
求 B(2,3)
- 第 1 步：Γ(2) = 1! = 1，Γ(3) = 2! = 2
- 第 2 步：Γ(2 + 3) = Γ(5) = 4! = 24
- 第 3 步：1 × 2 ÷ 24 = 0.0833
结果：0.0833
求 B(0.5,0.5)
- 第 1 步：Γ(0.5) = √π ≈ 1.7725
- 第 2 步：分子 1.7725 × 1.7725 = 3.1416，恰好是 π
- 第 3 步：分母 Γ(1) = 0! = 1
- 第 4 步：3.1416 ÷ 1 = 3.1416
结果：3.1416（即 π）
要点与常见误区
- 参数顺序不影响结果，B(2,3) 与 B(3,2) 都是 0.0833，算错顺序不用重来。
- x、y 必须为正数，任一个取 0 或负数时函数无定义，页面按 0 处理。
- 整数参数用阶乘写法更快：B(3,4) = 2! × 3! ÷ 6! = 2 × 6 ÷ 720 = 0.0167。
- 贝塔函数的值可以大于 1，B(0.5,0.5) 就是 3.1416，别误以为它一定是概率；被归一化的是贝塔分布的密度。
- 参数很大时结果会下溢到 0，这是浮点精度问题，不是函数真的等于 0。
- 不完全贝塔积分把积分上限从 1 换成某个 z 值，统计检验里的 P 值常用它计算，本页只给完整贝塔函数值。
- 曲线形状由参数与 1 的大小关系决定：x、y 都大于 1 时先降后升，都小于 1 时呈 U 形，等于 1 时退化为均匀分布。
- 两个参数相加很大时结果极小，B(50,50) 在四位小数下会显示 0.0000，此时应改成看伽玛函数比值的对数。
- 贝塔函数与二项分布关系紧密：n 次试验中成功 k 次的后验概率，分母里就含 B(k+1, n−k+1)。
- 遇到形如 t 的幂次乘 (1−t) 的幂次在 0 到 1 上的定积分，直接换成 B(x,y) 就能算出准确值，不必硬凑原函数。
常见问题
- B(1,1) 等于多少？
- B(1,1) = Γ(1) × Γ(1) ÷ Γ(2) = 1 × 1 ÷ 1 = 1，对应 0 到 1 上均匀分布的归一化常数。
- 贝塔函数和贝塔分布是什么关系？
- 贝塔分布的密度是 t^(x−1)(1−t)^(y−1) 除以 B(x,y)，贝塔函数就是那个让密度积分为 1 的分母。
- 为什么 B(0.5,0.5) 正好等于 π？
- 把 Γ(0.5) = √π 平方得到 π，分母 Γ(1) = 1，所以结果就是 π，这也是反正弦分布的由来。
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