伽玛函数 Γ(x) 计算器
最后更新： · 公式与示例已人工校对
阶乘只对 0、1、2 这样的非负整数有定义，一旦要把 3.5 的「阶乘」代进概率密度函数就卡住了。伽玛函数把阶乘推广到整个正实数：整数处 Γ(n) = (n−1)!，半点处 Γ(0.5) = √π。这个页面输入一个 x 就给出 Γ(x)，保留四位小数，做伽玛分布、贝塔分布或反常积分题时可以直接取数。
使用方法
- 在「X」框填自变量，可以填整数也可以填小数，必须大于 0。
- 点「计算」，读「伽玛函数(x) Γ(X)=」后面的数值。
- 需要阶乘时先把阶乘数减 1 再代入，求 5! 应该输入 4。
- 算完可再用递推式 Γ(x+1) = xΓ(x) 反向验算一次。
计算公式
| 积分定义 |
Γ(x) = ∫ 从 0 到无穷 t^(x−1) · e^(−t) dt
x 为正实数，积分收敛 |
| 递推关系 |
Γ(x+1) = x · Γ(x)
把大参数逐级降到 1 附近再计算 |
| 与阶乘的关系 |
Γ(n) = (n−1)!
n 为正整数，这是阶乘的连续推广 |
| 半整数特例 |
Γ(0.5) = √π ≈ 1.7725
由高斯积分得到，是概率论里最常用的值 |
计算示例
求 Γ(5)
- 第 1 步：5 是正整数，套用 Γ(n) = (n−1)!
- 第 2 步：Γ(5) = 4! = 4 × 3 × 2 × 1
- 第 3 步：4! = 24
结果：24
求 Γ(0.5)
- 第 1 步：0.5 属于半整数，用 Γ(0.5) = √π
- 第 2 步：π 取 3.14159，开方得 1.77245
- 第 3 步：保留四位小数写作 1.7725
结果：1.7725
要点与常见误区
- 输入 5 得到的是 4! 也就是 24，不是 120；要算 5! 请输入 6。
- x 取 0 或负整数时函数发散，页面直接返回 0，这个 0 是占位符，不代表真实函数值。
- 递推式是最好用的自检工具：Γ(5.5) 应该等于 4.5 × Γ(4.5)，两者对不上说明取数有误。
- 页面只保留四位小数，连续递推会把舍入误差放大，需要高精度时改用六位以上有效数字。
- x 达到 172 时结果超出双精度浮点的表示上限，页面会显示无穷大，这不是函数本身发散。
- x 很大时可用斯特林近似 lnΓ(x) ≈ (x − 0.5) × ln x − x + 0.5 × ln(2π) 估算量级，再与本页结果比对，偏差应在百分之一以内。
- Γ 值在概率密度里常作分母出现，例如伽玛分布的归一化常数含 Γ(α)，Γ 算错整个密度曲线都会跟着偏。
常见问题
- Γ(1) 等于多少？
- Γ(1) = (1−1)! = 0! = 1，代进积分定义也能得到 1，因为 e^(−t) 在 0 到无穷上的积分正好是 1。
- 伽玛函数和阶乘到底什么关系？
- 两者在整数点重合，差一个位移：Γ(n) = (n−1)!。阶乘只定义在非负整数，伽玛函数定义在所有正实数。
- 负数能算伽玛函数吗？
- 负整数和 0 处发散、没有定义；负的非整数可以用反射公式 Γ(x)Γ(1−x) = π ÷ sin(πx) 延拓，但本页面只处理正数。
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