二项式分布计算器

N(方法数)
X(x个事物)
P(成功概率)

结果：
二项式分布

二项分布，伯努里分布：进行一系列试验，如果1.在每次试验中只有两种可能的结果，而且是互相对立的；2.每次实验是独立的，与其它各次试验结果无关；3.结果事件发生的概率在整个系列试验中保持不变，则这一系列试验称为伯努力试验。在这试验中，事件发生的次数为一随机事件，它服从二次分布。二项分布可以用于可靠性试验。可靠性试验常常是投入n个相同的式样进行试验T小时，而只允许k个式样失败，应用二项分布可以得到通过试验的概率。

二项式分布计算公式

Binomial distribution Formula

其中Cⁿ_x表示组合数，即从x个事物中取出n个的方法数。

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最后更新：2026年11月1日 · 公式与示例已人工校对

二项分布描述 n 次独立重复试验中成功的次数，每次试验只有成功与失败两种结果，成功概率恒定。抛硬币、产品合格率抽检、单选题蒙对几道，都符合这一模型。

使用方法

填入试验次数 n 与单次成功概率 p

填入关注的成功次数 k

点击计算得到恰好 k 次的概率与累积概率

计算公式

概率质量函数	P(X=k) = C(n,k) · p^k · (1−p)^(n−k) 恰好 k 次成功
期望与方差	E = np，Var = np(1−p) p = 0.5 时方差最大
累积概率	P(X ≤ k) 逐项累加至少、至多类问题用它

概率质量函数

P(X=k) = C(n,k) · p^k · (1−p)^(n−k) 恰好 k 次成功

期望与方差

E = np，Var = np(1−p) p = 0.5 时方差最大

累积概率

P(X ≤ k) 逐项累加至少、至多类问题用它

计算示例

抛硬币 10 次，恰有 6 次正面的概率

n = 10，p = 0.5，k = 6
组合数 C(10,6) = 210
成功项 0.5⁶，失败项 0.5⁴，合为 0.5¹⁰ ≈ 0.000977
相乘：210 × 0.000977 ≈ 0.2051
即约 20.5%，比直觉中的 10% 高不少

结果：约 20.5%

要点与常见误区

三次试验必须独立且 p 恒定，不放回抽样会破坏这一前提

n 大、p 接近 0.5 时二项分布近似正态，可用正态近似简化计算

n 大、p 很小时可用泊松分布近似，λ 取 np

常见问题

什么时候不能用二项分布

当每次试验不独立或概率会变化时。典型例子是从一小批产品中不放回抽检，抽走一件后剩余产品的次品率改变了，这时应改用超几何分布。

为什么恰好 6 次的概率比直觉高

因为正面 6 次的方式不止一种，10 次里有 210 种位置组合都能得到 6 正 4 反。直觉容易只想到某一种具体排列，忽略了组合数带来的放大。