误差界限误差范围计算器

样本大小(n)：
概率(p)：
总体大小(N)：

结果：
误差界限：	%

误差范围表达了统计结果中的随机波动的大小。这可以视为同样的问卷调查进行多次，其报告的百分比的变化的衡量。误差范围越大，该调查得到的百分比接近“真实”值（也就是在整个样本空间中的百分比）的可能性越低。

误差范围可以通过一次抽样调查得到的每个数字进行计算，除非所进行的是一次非概率抽样。对于以百分比表达的结果，经常可以计算一个最大误差范围，它适用于该调查的所有结果（至少所有基于整个采样的结果）。有时最大误差范围可以直接从采样的大小（回答问卷者的数量）计算。

误差范围通常在三个可信度上给出；99%，95%和90%。99%这个级别是最保守的，而90%的级别是最不保守的。95%的级别最为常用。如果可信度为95％，则整个样本空间的“真实”百分比有95％的可能处于一个问卷的结果的误差范围内。等价的说，误差范围就是95％可信区间的半径。

注意误差范围只考虑随机采样误差。它不考虑潜在的其它误差源，例如问题中的偏向性，没有被调查到的群体所带来的偏差，拒绝回答或者撒谎的人带来的误差，错误记数或者计算带来的偏差，等等。

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误差范围计算器

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最后更新：2026年11月1日 · 公式与示例已人工校对

误差范围（Margin of Error）告诉你抽样调查的结果有多大浮动空间。比如满意度 60%、误差范围 ±3%，真实值就有 95% 的把握落在 57% 到 63% 之间。它由置信水平和样本量共同决定：样本越大误差越小，但要缩小一半误差，样本量得翻四倍。工具支持反推，给定可接受的误差范围，算出需要多大的样本量。

使用方法

输入样本量 n，即实际回收的有效问卷数量

选择置信水平，常用 90%、95%、99%，对应 z 值 1.645、1.96、2.576

输入总体标准差，未知时可填 0.5（比例题）或用预调查的样本标准差

若已知允许误差，可反推所需最小样本量

计算公式

误差范围	MOE = z × σ ÷ √n z 由置信水平决定，σ 为标准差
均值型样本量	n = (z × σ ÷ E)² E 为允许的误差范围
比例型误差	MOE = z × √[p(1−p) ÷ n] p 为样本比例，取 p = 0.5 时误差最大
常见 z 值	90% → 1.645；95% → 1.96；99% → 2.576 双侧检验的临界值

误差范围

MOE = z × σ ÷ √n z 由置信水平决定，σ 为标准差

均值型样本量

n = (z × σ ÷ E)² E 为允许的误差范围

比例型误差

MOE = z × √[p(1−p) ÷ n] p 为样本比例，取 p = 0.5 时误差最大

常见 z 值

90% → 1.645；95% → 1.96；99% → 2.576 双侧检验的临界值

计算示例

σ = 15，n = 100，置信水平 95%

z = 1.96
MOE = 1.96 × 15 ÷ √100 = 1.96 × 1.5 = 2.94
若样本均值是 50，则真实均值有 95% 把握落在 47.06 到 52.94 之间

结果：误差范围约 ±2.94

要求误差不超过 3，95% 置信水平，σ = 15

n = (1.96 × 15 ÷ 3)² = 9.8² = 96.04
向上取整，需要至少 97 个有效样本

结果：至少需要 97 个样本

要点与常见误区

误差范围只反映抽样误差，不包括问卷设计缺陷、回答不真实等系统性偏差

样本量翻四倍才能把误差减半，从 ±6% 降到 ±3% 的代价远超多数人的预期

有限总体（如某公司 500 人）需要乘以有限总体校正系数，样本占比超过 5% 时不能忽略

比例题的误差在 p = 0.5 时最大，报告里若未特别说明通常按最坏情况估算

常见问题

误差范围 ±3% 是什么意思

指有 95%（或其他设定置信水平）的把握，真实值落在样本值上下 3% 的区间内。它不是指样本值本身有 3% 的测量误差，而是抽样带来的不确定性范围。

为什么样本量翻倍误差只降三成

因为误差与样本量的平方根成反比。样本量翻倍，√2 ≈ 1.414，误差只降到原来的 70.7%，也就是降约 29%。要把误差减半，样本量必须翻到四倍。

置信水平选 95% 还是 99%

95% 是学术和市场调研的通行标准，能满足大多数场景。99% 的区间更宽，需要更大样本量才能达到同样的精度，通常只在医疗、安全等高风险领域使用。

不知道总体标准差怎么办

比例类问题可取 p = 0.5，此时 p(1−p) 最大，得到最保守的样本量。均值类问题可以先做 30 人的预调查，用其样本标准差代替。