Z 分数（标准分）计算器
最后更新： · 公式与示例已人工校对
同一场考试，语文 85 分、数学也是 85 分，哪个更靠前？原始分数没法直接比，要看它离本科平均分有几个标准差。Z 分数就是这把统一的尺子：原始值减均值再除以标准差，得到「高出平均几个标准差」，不同科目、不同量纲的数据从此可以排队比较。
使用方法
- 在「随机值 (X)」填要评估的原始分数。
- 在「样本均值 (µ)」填该组数据的平均值。
- 在「样本标准偏差 (σ)」填标准差，必须与均值同单位。
- 点计算，读「Z Score 值」，结果保留四位小数。
计算公式
| 标准分 |
Z = (X − µ) ÷ σ
X 为原始值，µ 为均值，σ 为标准差 |
| 反推原始值 |
X = µ + Z × σ
已知 Z 与分布参数可还原分数 |
| 样本标准差 |
σ = √[Σ(xᵢ − µ)² ÷ (n − 1)]
数据只是抽样时用 n−1，是无偏估计 |
| 总体标准差 |
σ = √[Σ(xᵢ − µ)² ÷ n]
整批数据就是总体时用 n 作分母 |
计算示例
某科平均 70 分、标准差 10 分，考了 85 分
- 第 1 步：X − µ = 85 − 70 = 15
- 第 2 步：15 ÷ 10 = 1.5
- 第 3 步：Z = 1.5，表示高出平均 1.5 个标准差
- 第 4 步：查标准正态表，1.5 对应约 93.32% 的累积概率
结果：Z = 1.5
平均 70 分、标准差 12 分，考了 58 分
- 第 1 步：58 − 70 = −12
- 第 2 步：−12 ÷ 12 = −1
- 第 3 步：Z = −1，表示低于平均一个标准差
结果：Z = −1
要点与常见误区
- 分母用 n 还是 n−1 取决于数据性质：整批数据是总体就用 n，只是从中抽样就用 n−1。样本量小于 30 时两者差别会明显可见。
- Z 没有单位，正负号表示在均值上方还是下方，绝对值表示距离几个标准差，所以跨科目可以直接比大小。
- σ 填 0 会除零，说明所有数据完全相同，此时 Z 没有意义。
- Z = 1 不等于「超过 84% 的人」这种直观换算，必须查表：Z = 1 对应约 84.13%，Z = 1.5 对应约 93.32%。
- 页面只输出 Z 值，不给概率；要概率需另查标准正态分布表或用累积分布函数换算。
- 反过来用也很方便：某科 Z = 1.5、均值 70、标准差 10，对应原始分就是 70 + 1.5 × 10 = 85，与正算完全一致。
- 样本量小于 30 时 Z 值本身波动很大，用它做排名要谨慎，最好把样本量一并写出来。
常见问题
- Z 分数 1.5 是什么水平？
- 表示比平均值高 1.5 个标准差，在正态分布下约超过 93.32% 的观测值，属于前 7% 左右。
- Z 分数可以是负数吗？
- 可以。负号只表示低于均值，例如 Z = −1 是低一个标准差，绝对值越大离均值越远。
- Z 分数怎么换算成百分位？
- 先由 Z 查标准正态累积概率再乘 100。常用值：Z = 0 对应 50%，Z = 1.96 对应 97.5%，Z = 2.58 对应 99.5%。
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