超几何分布计算器

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样本成功数：

结果：
超几何分布：
累积超几何分布：

超几何分布是统计学上一种离散概率分布。它描述了由有限个物件中抽出n个物件，成功抽出指定种类的物件的次数（不归还）。

在产品质量的不放回抽检中，若N件产品中有M件次品，抽检n件时所得次品数X=k，则P(X=k)=C(M k）·C(N-M n-k)/C(N n）， C（a b）为古典概型的组合形式，a为下限，b为上限，此时我们称随机变量X服从超几何分布（hypergeometric distribution）（1）超几何分布的模型是不放回抽样，（2）超几何分布中的参数是M,N,n上述超几何分布记作X~H(n，M，N）。

超几何分布： Hypergeometric distribution formula

n 总数
r is the number of objects selected
a total number of defective objects
x is the number of defectives selected
X is the random variable

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超几何分布计算器

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最后更新：2026年11月1日 · 公式与示例已人工校对

超几何分布描述不放回抽样的成功次数。与二项分布的关键差别在于每次抽取后总体发生变化，成功概率不再恒定。产品抽检、彩票开奖、从有限总体中抽取样本都属于这一类。

使用方法

填入总体总数 N 与其中次品数 M

填入抽样数 n 与关注的次品数 k

点击计算得到对应概率

计算公式

概率质量函数	P(X=k) = C(M,k) · C(N−M, n−k) / C(N,n) 不放回抽样
期望	E(X) = n · M / N 与二项分布相同
方差	n·(M/N)·(1−M/N)·(N−n)/(N−1) 比二项分布小

概率质量函数

P(X=k) = C(M,k) · C(N−M, n−k) / C(N,n) 不放回抽样

期望

E(X) = n · M / N 与二项分布相同

方差

n·(M/N)·(1−M/N)·(N−n)/(N−1) 比二项分布小

计算示例

100 件产品含 10 件次品，抽 5 件，恰有 1 件次品的概率

从 10 件次品中取 1 件：C(10,1) = 10
从 90 件正品中取 4 件：C(90,4) = 2555190
总取法 C(100,5) = 75287520
概率约 10 × 2555190 / 75287520 ≈ 0.3394
即约 33.9%，比二项分布的估计略低

结果：约 33.9%

要点与常见误区

抽样数超过总体 5% 时，不放回效应明显，不能用二项分布近似

总体很大时超几何分布趋近二项分布，因为每次抽取对总体影响可忽略

方差里的 (N−n)/(N−1) 就是有限总体校正因子

常见问题

为什么方差比二项分布小

因为不放回抽样让每次抽取的结果负相关：抽到次品后，剩余产品中次品比例下降，下次抽到次品的概率变小。这种相互制约使结果的波动减小，方差自然更小。

什么情况下可以用二项分布代替

当总体规模远大于样本量，一般取抽样比小于 5% 时，两者结果差异可忽略。例如从一百万件产品中抽十件，放回与否几乎不影响结果。