经验法则（三倍标准差）计算器
最后更新： · 公式与示例已人工校对
一组数据里有多大比例落在平均值上下一个标准差之内？正态分布给出的答案是 68%、95%、99.7%。这个页面不需要先假设分布，直接把输入数据的均值与样本标准差算出来，再套三个区间输出上下限，用来快速划定「正常范围」与异常值边界。
使用方法
- 在输入框粘贴一组数字，用英文逗号分隔，例如 10,12,14,16,18。
- 点计算，先读「平均值」与「标准偏差SD」。
- 再读结果区的三行区间，分别是加减 1 倍、2 倍、3 倍标准差的上下限。
- 判定异常值时，把观测值与三行区间逐一比对。
计算公式
| 算术平均 |
均值 = Σxᵢ ÷ n
n 为数据个数，分母是 n 不是 n−1 |
| 样本标准差 |
SD = √[Σ(xᵢ − 均值)² ÷ (n − 1)]
分母用 n−1，是对总体方差的无偏估计 |
| 偏度 |
偏度 = Σ(xᵢ − 均值)³ ÷ [(n − 1) × SD³]
衡量分布左右不对称的程度 |
| 经验区间 |
68% 落在均值 ± 1SD，95% 落在 ± 2SD，99.7% 落在 ± 3SD
仅对近似正态的数据成立 |
计算示例
数据 10,12,14,16,18
- 第 1 步：均值 = (10+12+14+16+18) ÷ 5 = 70 ÷ 5 = 14
- 第 2 步：偏差为 −4、−2、0、2、4，平方和 = 16+4+0+4+16 = 40
- 第 3 步：40 ÷ (5−1) = 10，开方得 SD = 3.1623
- 第 4 步：加减 1SD 为 10.84 到 17.16，加减 2SD 为 7.68 到 20.32，加减 3SD 为 4.51 到 23.49
结果：均值 14，SD 3.1623
数据 5,20,40,80,100
- 第 1 步：均值 = 245 ÷ 5 = 49
- 第 2 步：平方和 = 1936+841+81+961+2601 = 6420
- 第 3 步：6420 ÷ 4 = 1605，开方得 SD ≈ 40.0625
- 第 4 步：加减 1SD 为 8.94 到 89.06，区间几乎盖住全部数据
结果：均值 49，SD 40.0625
要点与常见误区
- 标准差的分母是 n−1 而不是 n：页面算的是样本标准差，用来估计总体；如果这组数就是全部总体，应除以 n，结果会略小。
- 标准差被离群值放大，5,20,40,80,100 这组数据的 SD 高达 40，区间宽到失去筛选意义。
- 经验法则只对近似正态的数据成立，偏度绝对值大于 1 时 68、95、99.7 这三个比例会明显偏离。
- 页面第三行标注的是 97.7%，而标准正态下加减 3 倍标准差实际覆盖 99.73%，写报告时按 99.7% 表述更准确。
- 输入必须用英文逗号，中文逗号会让整串数字被当成一个数，结果只剩一个数据点。
常见问题
- 68-95-99.7 具体指什么？
- 正态分布下，约 68.27% 的数据落在均值加减 1 个标准差内，95.45% 落在加减 2 个内，99.73% 落在加减 3 个内。
- 样本标准差为什么除以 n−1？
- 用样本估计总体方差时，除以 n 会系统性偏小，除以 n−1 才是无偏估计，这个修正叫贝塞尔校正。
- 数据不是正态分布还能用吗？
- 只能当粗略参考。偏态明显或双峰分布时，区间覆盖率会和这三个百分比差很远，应改用分位数法。
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