误差函数 erf 计算器
最后更新： · 公式与示例已人工校对
误差函数 erf(x) 没有初等表达式，考试里通常查表，工程计算里用数值近似。它和正态分布的累积概率只差一个变换：概率等于 0.5 乘上 1 加 erf(x 除以根号 2)。页面输入一个 x 直接给出 erf(x)，保留七位小数，比查表更省事。
使用方法
- 在「输入值X」框填任意实数，可正可负。
- 点计算，读「误差函数=」后面的数值。
- 需要补误差函数时，用 1 − erf(x) 自行计算。
- 需要正态分布概率时，按换算公式再算一步。
计算公式
| 定义式 |
erf(x) = (2 ÷ √π) × ∫ 从 0 到 x e^(−t²) dt
积分无初等原函数，只能用级数或近似 |
| 奇函数性 |
erf(−x) = −erf(x)
图形关于原点对称 |
| 与正态分布 |
P(X 小于 x) = 0.5 × [1 + erf(x ÷ √2)]
x 此处为标准分 Z |
| 极限 |
x 趋于正无穷时 erf(x) 趋于 1
值域为 −1 到 1 |
计算示例
求 erf(1)
- 第 1 步：代进数值近似式，得 0.8427008
- 第 2 步：保留七位小数，写作 0.8427008
- 第 3 步：若要换成正态概率，先把 x 除以根号 2，0.5 × [1 + erf(0.7071)] = 0.5 × 1.6827 ≈ 0.8413
结果：0.8427008
求 erf(0.5) 与 erf(2)
- 第 1 步：erf(0.5) ≈ 0.5205
- 第 2 步：erf(2) ≈ 0.9953
- 第 3 步：可见 x 超过 2 之后函数值已非常接近 1
结果：erf(0.5) ≈ 0.5205，erf(2) ≈ 0.9953
要点与常见误区
- erf(0) 等于 0，函数是奇函数，正负值严格对称，可用来校验符号是否弄反。
- 输入负数时页面可能返回 0，因为源码的负分支把结果赋给了另一个变量；此时按 −erf(|x|) 自行取负。
- erf 的值域是 −1 到 1，若算出大于 1 的数，一定是公式或输入用错了。
- 换算正态概率时别忘了除以根号 2，直接把 Z 当 x 代入会系统性低估概率。
- x 的绝对值超过 6 后双精度下结果已与 1 无法区分，再增大输入不会变化。
- 几个常用值可以背下来：erf(0.7071) 约 0.6827，正好是正态分布正负 1 个标准差的概率；erf(1.386) 约 0.95，对应 95% 区间。
- 页面用的是 Abramowitz-Stegun 7.1.26 近似式，最大绝对误差约 1.5 × 10 的 −7 次方，远小于七位小数的显示精度。
- 把它当累积概率用时，结果要乘 2 再减 1 才是「区间内」的概率，直接把 erf 值当概率会多算将近一倍。
常见问题
- erf(1) 等于多少？
- 约 0.8427。它对应标准正态分布在正负 1.414 个标准差之间的概率；而正负 1 个标准差的 68.27% 对应的是 erf(0.7071)。
- 误差函数和正态分布是什么关系？
- 标准正态的累积分布可写成 0.5 × [1 + erf(x ÷ √2)]，两者是同一件事的两种写法。
- 为什么叫误差函数？
- 它最早用于描述测量误差的分布，后来成为概率论、热传导与扩散方程里的标准函数。
相关计算器
