指数分布计算器
最后更新： · 公式与示例已人工校对
指数分布描述「事件下一次发生还要等多久」，前提是事件以恒定速率随机发生。元器件的偶然失效、客服电话的间隔、放射性衰变都符合这一模式。它的重要特征是失效率恒定，不因已经等了很久而更容易发生。
使用方法
- 填入率参数 λ，即单位时间内事件平均发生次数
- 填入时间 x
- 点击计算得到概率密度或累积概率
计算公式
| 概率密度 |
f(x) = λe^(−λx)，x ≥ 0
λ 为率参数 |
| 累积分布 |
F(x) = 1 − e^(−λx)
小于等于 x 的概率 |
| 均值与方差 |
期望 1/λ，方差 1/λ²
标准差等于均值 |
计算示例
某元件平均寿命 1000 小时，求 500 小时内失效的概率
- 平均寿命 1000 小时，故 λ = 0.001
- 代入累积公式：1 − e^(−0.001×500)
- 指数项为 e^(−0.5) ≈ 0.6065
- 失效概率约 39.35%
- 若问 500 小时后仍正常的概率，则为 60.65%
结果：约 39.35%
要点与常见误区
- 指数分布无记忆：已经正常运行 1000 小时的元件，再撑 500 小时的概率与新元件相同
- λ 是率而不是寿命，寿命是它的倒数，代入时别搞反
- 实际产品的失效多呈浴盆曲线，只有偶然失效期才近似指数分布
常见问题
- 为什么说指数分布没有记忆
- 因为条件概率 P(X > s+t | X > s) 恒等于 P(X > t)，与已过去的时间 s 无关。这意味着磨损不会累积，旧的与新的一样可靠。机械磨损类失效不满足这一点，需用威布尔分布。
- λ 和平均寿命是什么关系
- 互为倒数。λ 表示单位时间内失效的概率速率，平均寿命为 1/λ。例如 λ = 0.001 每小时，平均寿命就是 1000 小时。算概率时用 λ，理解寿命时用 1/λ。
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