正态分布计算器

平均值μ：
标准偏差σ²：
X1
X2	(可选)

结果：
P(X<X1)
P(X>X1)
P(X<X2)
P(X>X2)
P(X1 to X2)

正态分布（Normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。若随机变量服从一个位置参数为、尺度参数为的概率分布，记为：则其概率密度函数为正态分布的数学期望值或期望值等于位置参数，决定了分布的位置；其方差的开平方或标准差等于尺度参数，决定了分布的幅度。正态分布的概率密度函数曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。

正态分布公式

这里μ是平均值,σ² 随机变量的方差, 当μ = 0 和 σ² = 1 称为标准正态分布。

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正态分布计算器

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最后更新：2026年11月1日 · 公式与示例已人工校对

正态分布是最重要的连续分布，曲线呈对称钟形，由均值与标准差两个参数完全确定。大量自然与测量数据近似服从它，中心极限定理也保证样本均值在大样本下趋于正态，这是众多统计方法的基础。

使用方法

填入均值 μ 与标准差 σ

填入关注的取值或区间端点

点击计算得到概率密度或累积概率

计算公式

概率密度	f(x) = 1/(σ√2π) · e^(−(x−μ)²/(2σ²)) 钟形曲线
标准化	z = (x − μ) / σ 转成标准正态
三倍标准差	约 68%、95%、99.7% 落在 1、2、3 倍 σ 内经验法则

概率密度

f(x) = 1/(σ√2π) · e^(−(x−μ)²/(2σ²)) 钟形曲线

标准化

z = (x − μ) / σ 转成标准正态

三倍标准差

约 68%、95%、99.7% 落在 1、2、3 倍 σ 内经验法则

计算示例

考试成绩均值 70、标准差 10，求 85 分以上的比例

标准化 z = (85 − 70)/10 = 1.5
查标准正态表，小于 1.5 的累积概率约 0.9332
大于 1.5 的比例为 1 − 0.9332 = 0.0668
即约 6.68% 的人超过 85 分
若要取前 5%，对应 z 约 1.645，原始分数为 86.45

结果：约 6.68%

要点与常见误区

正态分布完全由均值与标准差决定，知道这两个数就知道整条曲线

标准差越大曲线越扁平，但曲线下总面积恒为 1

现实数据常有偏斜或厚尾，套用正态假设前应先做检验

常见问题

为什么正态分布这么常用

因为中心极限定理：无论总体服从什么分布，样本均值的分布在大样本下都趋近正态。这让基于正态假设的检验方法适用范围极广。此外许多测量误差是众多微小因素叠加的结果，叠加后自然趋于正态。

数据不正态还能用 t 检验吗

样本量较大时（每组 30 以上）依中心极限定理仍可近似使用。样本量小且明显偏态时，建议改用非参数方法，如曼惠特尼 U 检验，它不依赖分布形状。